Indice degli argomenti

  • Breve cenno alla trigonometria

    Definizioni delle funzioni trigonometriche

    Considerando il cerchio unitario sottostante, il raggio è il segmento OA = 1.

    trigonometria cerchio unitario 1

    Viene definito seno dell'angolo α ( e si indica sen α) il segmento AB, mentre coseno dell'angolo α ( e si indica cos α) il segmento OB.

    Il triangolo OBA è rettangolo e, pertanto, utilizzando il Teorema di Pitagora si ha:

    OB + AB2 = OA = 1

    Si ha la relazione trigonometrica 

    cos2 α + sen2 = 1

    Viene definito tangente dell'angolo α ( e si indica tan α) il rapporto tra seno e coseno di un angolo.

    tan α = \( \frac{sen \alpha }{cos \alpha } \)


    Funzioni trigonometriche e triangoli rettangoli

    Quando si considera un triangolo rettangolo generico valgono le seguenti relazioni:

    triangolo rettangolo

    a2 + b = c2
    \( c = \sqrt[]{a^2 + b^2} \)  

     e dalla trigonometria anche:

    \( a = c · cos \alpha \)

    \( b = c · sen \alpha \)

    \( tan \alpha = \frac{b}{a} \)


    • Numeri complessi: definizione e rappresentazioni

      E' necessario definire l'unità immaginaria j tale che:

      \( j^2 = -1 \)
       \( j = \sqrt[]{-1} \)

      In tal modo si può definire tutto il campo dei numeri immaginari positivi e negativi fino all'infinito.

      I numeri immaginari possono essere rappresentati, come i numeri reali, su una retta.

      Il piano cartesiano formato sull'asse delle ascisse dai numeri reali R e sull'asse delle ordinate dai numeri immaginari Im è detto piano di Gauss. Un numero complesso si può individuare sul piano di Gauss tramite le sue coordinate complesse. 

      piano di Gauss

      Un numero complesso si indica con a + jb , dove a è la parte reale e b è la parte immaginaria.

      Il segmento orientato OB rappresenta il numero complesso ed è un vettore complesso. 

      Nell'esempio in figura il numero complesso rappresentato è 3 + j4.

      La lunghezza del vettore OB viene chiamata MODULO, mentre l'angolo α viene chiamato FASE.

      Per quanto visto dalle formule in precedenza, chiamando il vettore ad esempio \( \vec{Z} \) è possibile ricavare la parte reale a e la parte immaginaria b conoscendo modulo e fase e viceversa.

      passaggio algebrica-polare

                                       

      Rappresentazione di numeri complessi

      numeri complessi rappresentazione

      • Somma e differenza grafica tra vettori di numeri complessi

        somma vettori

        \( \vec{Z_{tot}} = \vec{Z_1} + \vec{Z_2} = (2 + j5) + (5 - j2) = 7 + j3 \)

        Per fare la somma di 2 vettori si costruisce il parallelogramma e il vettore somma andrà dall'origine al punto opposto.

        differenza grafica vettori

        \( \vec{Z_{tot}} = \vec{Z_1} - \vec{Z_2} = (2 + j5) - (5 - j2) = -3 + j7 \)

        Per la differenza tra 2 vettori è possibile fare la somma tra il primo e l'opposto del secondo oppure unire le punte e poi traslare nell'origine.