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Definizioni delle funzioni trigonometriche
Considerando il cerchio unitario sottostante, il raggio è il segmento OA = 1.
Viene definito seno dell'angolo α ( e si indica sen α) il segmento AB, mentre coseno dell'angolo α ( e si indica cos α) il segmento OB.
Il triangolo OBA è rettangolo e, pertanto, utilizzando il Teorema di Pitagora si ha:
OB2 + AB2 = OA2 = 1
Si ha la relazione trigonometrica
cos2 α + sen2 = 1
Viene definito tangente dell'angolo α ( e si indica tan α) il rapporto tra seno e coseno di un angolo.
tan α = \( \frac{sen \alpha }{cos \alpha } \)
Funzioni trigonometriche e triangoli rettangoli
Quando si considera un triangolo rettangolo generico valgono le seguenti relazioni:
a2 + b2 = c2
\( c = \sqrt[]{a^2 + b^2} \)
e dalla trigonometria anche:
\( a = c · cos \alpha \)
\( b = c · sen \alpha \)
\( tan \alpha = \frac{b}{a} \)
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E' necessario definire l'unità immaginaria j tale che:
\( j^2 = -1 \)
\( j = \sqrt[]{-1} \)
In tal modo si può definire tutto il campo dei numeri immaginari positivi e negativi fino all'infinito.
I numeri immaginari possono essere rappresentati, come i numeri reali, su una retta.
Il piano cartesiano formato sull'asse delle ascisse dai numeri reali R e sull'asse delle ordinate dai numeri immaginari Im è detto piano di Gauss. Un numero complesso si può individuare sul piano di Gauss tramite le sue coordinate complesse.
Un numero complesso si indica con a + jb , dove a è la parte reale e b è la parte immaginaria.
Il segmento orientato OB rappresenta il numero complesso ed è un vettore complesso.
Nell'esempio in figura il numero complesso rappresentato è 3 + j4.
La lunghezza del vettore OB viene chiamata MODULO, mentre l'angolo α viene chiamato FASE.
Per quanto visto dalle formule in precedenza, chiamando il vettore ad esempio \( \vec{Z} \) è possibile ricavare la parte reale a e la parte immaginaria b conoscendo modulo e fase e viceversa.
Rappresentazione di numeri complessi
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\( \vec{Z_{tot}} = \vec{Z_1} + \vec{Z_2} = (2 + j5) + (5 - j2) = 7 + j3 \)
Per fare la somma di 2 vettori si costruisce il parallelogramma e il vettore somma andrà dall'origine al punto opposto.
\( \vec{Z_{tot}} = \vec{Z_1} - \vec{Z_2} = (2 + j5) - (5 - j2) = -3 + j7 \)
Per la differenza tra 2 vettori è possibile fare la somma tra il primo e l'opposto del secondo oppure unire le punte e poi traslare nell'origine. -
