Topic outline

  • General

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  • Breve cenno alla trigonometria

    Definizioni delle funzioni trigonometriche

    Considerando il cerchio unitario sottostante, il raggio è il segmento OA = 1.

    trigonometria cerchio unitario 1

    Viene definito seno dell'angolo α ( e si indica sen α) il segmento AB, mentre coseno dell'angolo α ( e si indica cos α) il segmento OB.

    Il triangolo OBA è rettangolo e, pertanto, utilizzando il Teorema di Pitagora si ha:

    OB2  + AB2 = OA2  = 1

    Si ha la relazione trigonometrica 

    cos2 α + sen2 = 1

    Viene definito tangente dell'angolo α ( e si indica tan α) il rapporto tra seno e coseno di un angolo.

    tan α = \( \frac{sen \alpha }{cos \alpha } \)


    Funzioni trigonometriche e triangoli rettangoli

    Quando si considera un triangolo rettangolo generico valgono le seguenti relazioni:

    triangolo rettangolo

    a2 + b2  = c2
    \( c = \sqrt[]{a^2 + b^2} \)  

     e dalla trigonometria anche:

    \( a = c · cos \alpha \)

    \( b = c · sen \alpha \)

    \( tan \alpha = \frac{b}{a} \)


  • Numeri complessi: definizione e rappresentazioni

    E' necessario definire l'unità immaginaria j tale che:

    \( j^2 = -1 \)
     \( j = \sqrt[]{-1} \)

    In tal modo si può definire tutto il campo dei numeri immaginari positivi e negativi fino all'infinito.

    I numeri immaginari possono essere rappresentati, come i numeri reali, su una retta.

    Il piano cartesiano formato sull'asse delle ascisse dai numeri reali R e sull'asse delle ordinate dai numeri immaginari Im è detto piano di Gauss. Un numero complesso si può individuare sul piano di Gauss tramite le sue coordinate complesse. 

    piano di Gauss

    Un numero complesso si indica con a + jb , dove a è la parte reale e b è la parte immaginaria.

    Il segmento orientato OB rappresenta il numero complesso ed è un vettore complesso. 

    Nell'esempio in figura il numero complesso rappresentato è 3 + j4.

    La lunghezza del vettore OB viene chiamata MODULO, mentre l'angolo α viene chiamato FASE.

    Per quanto visto dalle formule in precedenza, chiamando il vettore ad esempio \( \vec{Z} \) è possibile ricavare la parte reale a e la parte immaginaria b conoscendo modulo e fase e viceversa.

    passaggio algebrica-polare

                                     

    Rappresentazione di numeri complessi

    numeri complessi rappresentazione

  • Operazioni coi numeri complessi

    somma algebrica numeri complessi

    prodotto e rapporto con numeri complessi in forma polare

  • Somma e differenza grafica tra vettori di numeri complessi

    somma vettori

    \( \vec{Z_{tot}} = \vec{Z_1} + \vec{Z_2} = (2 + j5) + (5 - j2) = 7 + j3 \)

    Per fare la somma di 2 vettori si costruisce il parallelogramma e il vettore somma andrà dall'origine al punto opposto.

    differenza grafica vettori

    \( \vec{Z_{tot}} = \vec{Z_1} - \vec{Z_2} = (2 + j5) - (5 - j2) = -3 + j7 \)

    Per la differenza tra 2 vettori è possibile fare la somma tra il primo e l'opposto del secondo oppure unire le punte e poi traslare nell'origine.

  • Sfasamento tra numeri complessi

    sfasamento tra numeri complessi 1